从 FFT 分辨率，引出一套经典的 Mixed Signal 教程

前言

我在搜索 FFT Resolution 相关主题时，谷歌找到一篇由 Hideo Okawara 撰写的文章，让我有一种相见恨晚的感觉，而这只是他数十篇关于 Mixed Signal 教程的其中之一。

本文我们来看看 Hideo Okawara 是如何解释 FFT Resolution 与 Coherent Condition 的，非常直观，应该很容易理解。

在 Hideo Okawara 的教程中（参考资料[1]），首先定义了几个关键字符：

在此，信号分析符合奈奎斯特采样定理，Ft 的最大频率在 Fs / 2 以内，过采样或者降采样不予以考虑：

然后就是一张图示，将上述这些定义都关联了起来：

上半部分是时域，UTP 包含了 M 个信号周期，有 N 个采样点，采样点的间隔是 1 / Fs。

下半部分是频域，横坐标频率从 0 Hz（DC）到 Fs / 2，有多少个点？

当然是 N / 2 个点，对应的 Fresln （分辨率）或者 bin spacing 就是 Fs / N。

由于 UTP 中正好包含了 M = 3 个正弦信号周期，所以频谱上峰值正好处于 3 的位置。

对于 FFT Resolution 频谱分辨率，它与采样率、采样点数都有关系。

我们可以再举个例子，假设用 Fs = 256 kHz 采样了 N = 1024 个点。那么，UTP = 1 / 256000 * 1024 = 4 ms，频域范围 Fs / 2 = 128 kHz，频谱分辨率是 Fs / N = 250 Hz。

Hideo Okawara 这个图示很经典，因为它将 Ft、Fs、M、N、UTP、Fresln 等概念都囊括其中。在做信号分析时，你应该把这些变量及其关系都牢记于心。

UTP 只是被测信号的一个时域“截断”，但傅里叶变换假定被测信号是无限延伸的，因此对 UTP 进行了时域拓展。

下图展示了两种 UTP 情况，其中 (a) 的 UTP 正好涵盖 1 个信号周期，(b) 的 UTP 涵盖了 1.3 个信号周期。UTP 时域拓展后，(a) 能保证信号的首尾连续，而 (b) 则不能。

接着，文中举了一个例子：有两个信号，频率分别是 5 MHz 和 4.941406 MHz，通过 110 Msps 采样 512 点，时域情况如下：

其中，在整个 UTP 内，5 MHz 信号的周期是 23.272727 个（黄色表示），而 4.941406 MHz 信号的周期正好是 23 个（绿色表示）。

然后，对它们做 FFT 运算，频域情况如下：

图中两个信号对应的颜色与上图一样，横坐标用 bin 序号表示，时域 512 个采样点对应频域 256 个 bin。

4.941406 MHz 信号采样了 23 个周期，所以 23 位置对应的频率上正好有一根清晰的峰值。而 5 MHz 信号在 23 位置附近虽然也有峰值，但整体很“拖尾”，也就是在其他频率上都有幅度（能量），这种现象就是频谱泄露（Spectrum Leakage）。

另外，5 MHz 的峰值应该比 4.941406 MHz 的峰值要更低一些。

这就能看出 UTP 的显著影响，如果希望获得较好的 FFT 频谱图，就要满足以下规律：

UTP 决定了 M 与 N：

于是，就达到了 FFT 里面的 Coherent Condition 相干条件。

当然，还可以考虑在 FFT 之前加窗，不过这是另一个话题了。

本文解释了 FFT Resolution 与 Coherent Condition，图示及案例均来自 Hideo Okawara 的教程，我还多看了几篇，基本都篇幅简短，侧重概念介绍，包含直观的图示，而非数学推理过程。

看起来该系列教程最初应该是为 Verigy 所写，然后 Verigy 被 Advantest（爱德万测试）收购，所以文章现在都托管在 Advantest 网站，但似乎没有较为清晰的层级链接，不太便于查询和下载（文章链接形式如参考资料里所示）。

如果大家有兴趣，我可以收集整理一下，给出各文章链接，这样我们书库里面又多一个经典教程。上一回提过很多次的 Mixed Signal 教程，还是 ADI 的 MT 系列。

欢迎关注我的微信公众号“疯狂的运放”，及时收到最新的推文。